[확률과 통계] 1.3 Conditional Probability

- 본 내용은 "Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes" 책 내용을 통해 작성 되었고 [인프런] 확률과 통계 기초(조범희) 강의를 참고해서 작성 되었습니다.

---

오늘 비가올 확률이 0.1 이고 구름이 낄 확률이 0.3 이라고 할때

구름이 꼈을때 비가올 확률을 우리는 P(R | C) 를R given C 라고 읽고 이 같은 경우를 Conditional Probability(조건부 확률) 이라고 한다.

 

Conditional Probability 의 예로는 주사위를 던지는 경우를 생각해볼 수 있다.

위의 주사위 던지기 예에서도 알 수 있듯이 P(A|B) 는 A,B의 Intersection 의 확률을 B의 확률을 나눠 계산 할 수 있다.

 

또한 앞에서 말했던 Axiom 3개 모두 Conditional Probability에 적용 가능하다.

 

따라서 이 또한 성립한다.

 

예제 1,2의 풀이는 위와 같다.

 

Conditional Probability에는 Chain Rule(연쇄 법칙)이 존재한다.

위와같이 여러 집합의 확률의 Intersection을 Conditional Probability 로 나타낼 수 있다.

 

예제 3을 Conditional Probability의 Chain rule을 활용하여 푼 풀이있다.

 

두 사건이 있을때 Intersection의 확률이 각 확률의 곱과 같으면 두 사건은 Independent 하다고 할 수 있다.

 

Conditional Probability 또한 위와 같은 결과가 나온다.

 

Independent를 확인할떄는 벤 다이어그램이 도움이 되지 않는다.

앞에서 말했던 정의를 통해 값을 확인해 봐야 한다.

 

위는 예제 4번의 풀이이다.

 

 

Theorem 1.4 는 A와 B가 독립이면 그들의 Complement 들과도 서로 독립이라는 정리이다.

 

Theorem 1.5는 드모르간 법칙에 의해서 저러한 결과가 나오게 된다.

 

위는 예제 5의 풀이이다.

 

Independent와 disjoint는 다른 개념이다.

disjoint의 경우에 Intersection은 0이 되기 때문에 성립할 수 없다.

 

Law of Total Probability

전체 확률의 법칙은 위와같이 Bn 이 Sample space의 partition 일때 A와의 교집합을 통해 P(A)를 구하는 방법이다.

예제 6을 Law of Total Probability를 통해 위와 같이 풀이 할 수 있다.

 

Conditional Probability를 통해 Bayes' Theorem을 유도할 수 있다.

 

Bayes' Theorem을 사용한 예제8의 풀이이다.

 

사건 C가 일어날때 A와 B가 Conditional Independence 하면 위와같은 식이 유도된다.

 

하지만 Conditional Independence 는 Independence를 내포하지 않고 그 역 또한 아니다.

 

 

위에서 말한 내용을 정리하면 아래와같다.

Summary