[확률과 통계] 3.1 Discrete Random Variables

- 본 내용은 "Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes" 책 내용을 통해 작성 되었고 [인프런] 확률과 통계 기초(조범희) 강의를 참고해서 작성 되었습니다.

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3장에서는 위와 같은 것에 대해서 공부하였고 이 글에서는 Part1 부분을 정리할 것이다.

 

 

우선 함수의 표기법은 위와같다. A를 domain 이라고하고 B를 codomain이라고 한다.

여기서 A -> B 일때 x가 f(x)에 2개이상 대응되선 안된다.

f(x)를 range 혹은 image라고 한다.

 

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Discrete Random Variables

 

예시를 통해서 random variable에 대해서 설명하고자 한다.

위와같이 동전을 3번 던지는 경우를 생각해보면 앞면이 나오는 숫자는 0,1,2,3 이 있다. 이를 random variable이라고 한다.

random variable은 sample space 에서 real number 로 대응되는 함수를 뜻한다.

 

 

X = x_k 로 쓸수 있고 공평한 주사위를 2번 던지는 걸로 예를 들면 X=3 이 나올 확률은 {1,2} {2,1} 이고 전체 sample space가 36이므로

P(X = 3) = 1/18이 된다.

 

 

위에서 말했던 range는 Range(x), R_x 로 표기할 수 있으며 X가 될수있는 값의 집합을 의미한다.

 

Range에 익숙해지기 위한 예제는 아래와 같다.

 

 

a번은 동전 100번을 던졌을때의 Range는 100개의 elements를 가지는 set이 되고 countable하고 finite set이다.

b번은 동전의 앞면이 나올때까지의 Range이고 이는 자연수 N을 뜻하고 countable 하지만 infinite set이다.

마지막으로 c번은 운석이 지구에 충돌할 시간을 뜻하는데 이는 0이 될수도있고 무한대가 될수 있기때문에 uncountable한 Range를 가진다.

 

 

random variable 에는 discrete random variable 과 continuous random variable이 있다.

이 장에서는 discrete random variable을 다루고 뒤에서 continuous random variable을 다룰 것이다.

 

 

discrete random variable은 range와 sample space가 countable 한 경우를 뜻한다.

앞에 ex1에서 예로 들었던 것중에 a,b번은 discrete random variable이지만 c번은 아니라고 할 수 있다.

 

 

위와 같이 R_x 와 Sample space가 countable 한 경우가 discrete random variable 이고

표기법으론 P(X=x_k) 로 쓸 수 있다.

 

 

 discrete한 random variable과 range가 있을때 위와 같이 표기하고 Probability Mass Function(확률 질량 함수) 라고 부른다.

 

 

PMF 를 통한 풀이를 보면 위와 같이 풀 수 있고 그래프로도 그릴 수 가 있다.

그래프의 전체의 합은 1이 되고 구간으로도 값을 구할 수 있다.

 

PMF의 특징으로는

1. 모든 값은 0과 1 사이이다.

2. 전체 합은 1이다.

3,4번 특징은 수식과 그림을 보면 이해할 수 있다.

 

 

unfair한 동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률을 p라고 하면 Range는 자연수가 되고 PMF는 위와같이 나온다.

위와같은 분포를 geometric distribution(기하 분포) 라고 한다.

 

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Random Variable 도 Independent 할 경우에 위의 Two events 의 경우와 똑같이 계산 할 수 있다.

 

 

그에 대한 증명은 위의 풀이를 통해서 이해할 수 있다.

 

 

여러개의 random variable에 대해서도 마찬가지 이다.

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성공 혹은 실패 2개의 결과가 나오는 경우의 분포를 Bernoulli Distribution이라고 한다.

 

 

위는 베르누이 분포의 예를 보여준다.

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기하 분포는 앞에서도 언급했듯이 파라미터 p와 위와같은 PMF를 가진다.

 

 

기하 분포는  x가 커질수록 확률이 낮아진다.

주사위가 1이 나올 확률을 생각해보자. 많이 던지다보면 안나올 확률이 굉장이 적다는것을 알 수 있다.

 

 

기하분포의 예이다. 이런 문제가 나오면 기하 분포를 생각하여 쉽게 풀이 할 수 있다.