1.3 Vector Equations

- 본 내용은 "Linear Algebra and Its Applications, 3rd Ed., D. C. Lay" 책 내용을 통해 작성 되었고 [인프런] 선형대수학 개론(조범희) 강의를 참고해서 작성 되었습니다.

---

1.3장에서는 벡터 방정식에 대해서 공부하였다.

 

먼저 Notation부터 설명하자면

아래와 같이 벡터가 2차원 실수 공간에 있을때를 예로 들면 벡터는 Bold체, 괄호, 위에 화살표(->)를 붙여서 표현한다.

 

벡터 합은 아래와 같이 같은 위치에 있는 값을 더해서 계산이된다.

 

벡터의 스칼라 곱은 각 값의 스칼라배를 해주어 계산한다.

 

 

R2 space 에 있는 벡터를 기하학적으로 표현을 해보면 아래와 같다. 벡터 합의 결과는 두 벡터와 시점이 같은 평행 사변형의 대각선과 같음을 알 수 있다.

 

R3 space에 있는 벡터까지 시각화가 가능하며 아래와 같고 RN space에 있는 벡터는 다음과 같이 표현 할 수 있다.

 

벡터의 계산은 교환법칙, 결합법칙이 모두 성립한다. 아래와 같이 8가지 성질이 있다.

 

Linear Combinations

 

위와 같이 벡터 v 와 스칼라 c 가 있을때

이렇게 표현되는것을 linear combination (선형 결합) 이라고 한다.

 

아래의 문제를 보면 b가 a1과 a2의 선형 결합으로 만들어 질 수 있는가?

linear system을 풀면 알 수 있다.

 

 

augmented matrix 가 같은 linear system은 같은 해를 갖는다.

 

Span{v1, ... , vp}

위의 식을 span{v1, ..., vp}로 나타낼 수 있다.

 

따라서 위의 Q1, Q2, Q3는 모두 같은 뜻임을 알 수 있다.

 

span을 기하학적으로 묘사 하면 아래와 같다.

 

b가 span{a1, a2}에 존재하냐는 문제 인데 augmented matrix 를 풀어보면 pivot이 가장 오른쪽 항에 가있기 때문에 inconsistent 하다. 따라서 b가 span{a1, a2}에 존재하지 않는다.

 

1.3장 Vector Equation을 요약 하자면 아래와 같다.