1.4 The Matrix Equations Ax=b

- 본 내용은 "Linear Algebra and Its Applications, 3rd Ed., D. C. Lay" 책 내용을 통해 작성 되었고 [인프런] 선형대수학 개론(조범희) 강의를 참고해서 작성 되었습니다.

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1.4장 에서는 Matrix Equations 에 대해서 공부하였다.

여기서 AX 는 (M x N) matrix인 A 와 Rn space 의 벡터 x의 곱이고 위의 이미지처럼 표현 된다.

A와 X는 X를 가중치로 사용하는 A열의 선형결합이다.

 

Matrix equation의 예시는 아래와 같다.

 

Vector equation도 matrix equation으로 표현 할 수 있다.

 

linear system 또한 matrix equation으로 표현 할 수 있다.

 

 

matrix equation을 계산하는 방법은 아래와 같이 각 행의 각열의 index에 대치되는 vector의 index를 곱하고 더하여 계산한다.

또한 identity matrix(대각행렬)에 vector를 product 하게되면 그 vector가 그대로 나온다.

 

3번째 정리는 다음과 같다.

위에서 vector equation, linear system 모두 matrix equation으로 표현 가능하다고 했는데, 어떠한 linear system이 있더라도 무조건 matrix equation으로 표현 가능하다.

 

4번째 정리는 다음과 같다.

m x n 매트릭스가 있을때 아래 4개의 조건은 모두 true 거나 모두 false 이다.

 

a,b,c는 같은 말로 이해 할 수 있다.

 

d. A 매트릭스의 모든행에 pivot position을 가지고 있다. 의 뜻은 Theorem 2를 참고해서 보면 [ A  b]의 augmented matrix를 Echelon form으로 reduce 했을때 [0 ... 0 b]형태의 행이 없다는 뜻이다. 최소한 하나는 0이 아니여야한다. 또한 a가 참이면 solution이 있다는 말이기 때문에 a가 참이면 d도 참이다. 

 

 

5번째 정리는 다음과 같다.

mxn 인 A matrix가 있을때 u, v 벡터가 Rn space에 있고 스칼라 C가 있을때 다음 조건을 만족한다.

1. 두 벡터를 더한 것을 곱해주는것과 따로 곱해서 더한 값이 같다.

2. 벡터에 스칼라 C를 곱해주고 A와 곱을 한것과 A와 벡터를 먼저 곱하고 스칼라 C를 곱한것과 값이 같다.