1.5 Solution sets of Linear Systems

- 본 내용은 "Linear Algebra and Its Applications, 3rd Ed., D. C. Lay" 책 내용을 통해 작성 되었고 [인프런] 선형대수학 개론(조범희) 강의를 참고해서 작성 되었습니다.

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Homogeneous Linear Systems(동차 선형계)

A가 m x n matrix이고 0 은 Rn 차원의 vector일때, Ax=0 형태로 나오는 linear system을 Homogeneous Linear System(Homogeneous equation) 이라고 한다.

 

이 equation은 항상 최소한 X vector가 0 이라는 솔루션을 갖는다. 이 솔루션은 너무 당연한 solution이라고 해서 trivial solution 이라고 불린다.

 

두번째로 최소한 하나이상의 free variable이 존재할때, nontrivial solution 즉, 무수히 많은 해가 존재하게 된다.

 

Homogeneous equation에 대한 예는 아래와 같다.

아래의 linear system이 nontrivial solution 인지 아닌지를 결정하라는 문제이다.

augmented matrix 로 만들어주고 row reduction을 통해 reduced echelon form을 만들었다.

x1 = 4/3x3이고, x2 = 0 이 나온다. free variable이 있기때문에 이 homogeneous system은 nontrivial solution을 가지고 있다고 할 수 있다. 또한 x3으로 표현 할 수 있기 때문에 표현한 vector를 v 로 놓으면 span {v} 라고 할 수 있다.

그림으로 표현하면 3차원 공간에서 직선으로 solution이 표시 될 수 있다.

두번째 예로는 아래와 같다.

x1을 basic variable로 두고 x2, x3를 free variable이라고 두자.(보통 pivot position에 있는 변수를 basic variable로 둔다.)

따라서 general solution을 위와 같이 나타 낼 수 있고 1번 예와 같이 x2 의 vector를 u, x4의 vector를 v로 뒀을때 span {u,v}라고 할 수 있다.

 

Conclusion

결론적으로 homogeneous system의 solution은 항상 span{v1, v2, ... , vp}로 나타낼 수 있다.

만약에 trivial solution만 존재한다고 해도 span{0} 로 나타낼 수 있다.

 

Nonhomogeneous Linear System(비동차선형계)

Nonhomogeneous linear system은 Ax=b의 형태로 표현된다.

예시 문제를 풀어보자.

위에서와 같이 augmented matrix 꼴로 변환후 row reduction을 통해 echelon form을 만들어 준다.

nonhomogeneous system의 solution은 homogenous solution과 Particular solution으로 나오게 된다.

일반화하면 x = p + tv 꼴이된다.

위의 homogeneous system의 예제와 같은 matrix A를 사용하기 때문에 homogeneous solution이 그대로 나오고 vector p가 추가되는 것을 알수 있다.

 

기하학적으로 그림으로 표현해보면

2 dimension

homogeneous solution인 span{v} 직선을 vector p만큼 이동시킨것이 nonhomogeneous system의 solution이 된다는 것을 알 수 있다.

3 dimension

3차원 공간으로 표현해봐도 위와 같다.

 

위의 과정을 통해서 Theorem 6을 이해할 수 있다. Theorem 6 는 아래와 같다.

 

1.5장을 정리하면 아래와 같다.