1.7 Introduction to Linear Transformation

- 본 내용은 "Linear Algebra and Its Applications, 3rd Ed., D. C. Lay" 책 내용을 통해 작성 되었고 [인프런] 선형대수학 개론(조범희) 강의를 참고해서 작성 되었습니다.

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Transformation을 정의하기에 앞서서 Matrix Multiplication에 대해서 다시 한번 살펴보자.

matrix A 와 matrix multiplication을 통해 x, u vector를 b, 0 vector로 보낸다고 생각할 수 있다.

이를 쉽게 말해서 transformation이라고 할 수 있다.

 

Transformation은 function 또는 maping이라고도 한다.

Rn space에 있는 vector를 T(x) vector로 보내는 행위를 Transformation이라고 하고 T(x)는 Rm space에 있다.

이때, T(x)를 x의 image 라고 부르고 image의 모든 세트를 T의 range라고 부른다.

Rn space 를 Domain(공역)이라고 하고 Rm space를 Codomain(치역)이라고 한다.

이를 간단하게 표현한 기호는 T:Rn->Rm으로 표현 할 수 있다.

 

Rn space에 있는 X가 있을때 Transformation은 AX를 통해 수행된다.

이때 A는 mxn 차원이고 위의 기초를 통해 Transformation을 표현 할 수 있다.

 

오른쪽 예를보면 3x3 matirx 를 A라고 하면 Domain은 R3가 되고 Codomain도 R3가 된다.

이 matrix는 3번째 항을 0으로 보내는 transformation을 한다. 시각화하면 그림과 같다.

 

이 두번째 matrix는 2x2 matrix이며 T: R2 -> R2 이다. 단번에 이해가 안되기 때문에 값을 넣어서 테스트를 해보자.

그림을 보면 Box를 그려본다음에 Transformaton을 수행하면 Box가 찌그러진 형태로 변한다.

T : R2 -> R2 는 보통 Shear transformation이라고 하고 시각적으로 쉽게 표현할 수 있다.

 

Linear Transformation의 정의는 u+v vector sum을 수행한다음에 Tranformation을 취한것과 각각 vector를 따로 Transformation해서 더한것과 같고 스칼라 C 가 있을 때 vector에 스칼라 multiplication을 한것을 T 했을때와 그냥 vector를 T한후에 스칼라 multiplication을 했을때와 결과가 같을때 Linear Transformation이라고 한다.

 

 

위 수식을 보면 앞에서 배웠던 Theorem 5 가 생각 날 것이다. matrix가 같은 성질을 가지고 있기 때문에 당연하게도 모든 matrix transformation은 Linear transformation 이라는 것을 알  수 있다.

 

예제를 통해 살펴보자.

이 matrix Transformation은 위의 정의에 의해 당연히 Linear transformation이다.

 

이 Trnasformation의 결과는 이런 흥미로운 형태가 되는데 예를들어 u, v, u+v 를 transformation 할때

시각적으로 어떻게 되는지 살펴보겠다.

 

 

 이런식으로 transformation 결과가 나타나게 된다.

 

1.7장 Introduction to. inear Trnasformation에서 다룬 내용을 정리 하자면 아래와 같다.