2.2 The Inverse of a Matrix

- 본 내용은 "Linear Algebra and Its Applications, 3rd Ed., D. C. Lay" 책 내용을 통해 작성 되었고 [인프런] 선형대수학 개론(조범희) 강의를 참고해서 작성 되었습니다.

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우리가 보통 숫자가 있을때 위의 예처럼 그 숫자의 inverse는 그 숫자와의 곱이 1이 되는 값을 의미한다.

Matrix에서 nxn matrix A 가 있을때 nxn matrix C 와의 곱이 I(identity matrix)가 되는 C가 존재하는 Matrix를 Invertable Matrix 라고 한다.  또한 A와의 곱을 I로 만드는 C의 값은 unique 하다.

위의 예를 보면 A와의 곱을 I로 만드는 B 라는 matrix가 있다고 가정했을때 결국 B = C 가 되므로 A의 inverse는 unique함이 중명되고

이러한 inverse 를 A^-1로 표현한다.

 

invertable한 matrix를 non singular matrix(비특이행렬)라고 하고 그렇지 않은 matrix를 singular matirx(특이행렬) 이라고 한다.

 

Theorem4 

정리 4는 위와같이 matrix A가 있다고 했을때 ad-bc가 0이 아닐떄 invertable 하다고 할 수 있고 2x2 matrix의 경우 inverse matrix를 구하는 공식은 위와 같다. 2x2 matrix의 경우 determinant를 구하는 공식이 ad-bc인데 determinant는 뒤의 단원에서 다룰 예정이다.

 

inverse matrix를 구하는 예제이다. Theorem4에서의 공식을 통해 쉽게 구할 수 있다.

 

Theorem5

A가 nxn invertable matrix 이고 Rn space에 있는 b가 있을때 Ax = b 는 unique solution을 가진다.

 

예제 2번을 통해서 보면 A 와 b가 주어졌을때 solution은 A의 inverse와 b의 곱으로 쉽게 구할 수 있다.

 

Theorem6 

 

A가 invertable matrix 일때 A의 inverse 의 inverse 는 A 가 되고 B라는 invertable matrix가 추가로 있을때 AB의 곱의 inverse는 

(AB)^-1 = (B^-1)(A^-1)로 나타낼 수 있다. (순서가 바뀐다.)

 

 

Elementary Matrix 라는 개념이 나오는데 이는 쉽게 말해서 identity matrix를 single row operation을 통해 나올 수 있는 matrix를 의미한다. 여기서 신기한 점이 elementary matrix와 원래의 matrix를 곱해주면 그에 해당하는 row operation을 한 결과랑 같은걸 알 수 있다.

 

Elementary matrix는 원래의 matrix A에서 row reduction을 수행할때 Identity matirx에 똑같은 row operation을 해줘서 나오는 matrix를 의미한다.

 

Elementary matrix는 invertible하고 E의 inverse는 identity matrix로 다시 돌아갈 수 있는 연산을 해주면 쉽게 찾을 수 있다.

 

이 예제는 위에서 말한대로 row operation을 거꾸로 해줘서 inverse matrix를 찾는 과정이다.

 

Theorem7

nxn matrix A 가 invertible 하다는 말은 unique solution이 있다는 말이다.

unique solution이 있다는 말은 row reduction을 했을때(echelon form 으로 만들었을때), 모든 row에 pivot 이 있고 reduced echelon form으로 만들었을때 Identity matrix가 될 수 밖에 없다는 말이다.

 

따라서 row operation을 통해 matrix A를 Identity matrix로 만들었다면 Identity natrix에 똑같이 row operation을 하면 A 의 inverse를 만들 수 있다.

 

위의 수식은 A 의 inverse를 만드는 방법을 증명한 예이다.

 

A의 inverse를 찾을때의 알고리즘은 [A I] 로 matrix를 두고 row reduction을 통해 [I C]로 만들면 C는 A의 inverse가 된다는 알고리즘이다.

 

예제 3번은 위의 알고리즘을 통해서 A의 inverse를 구한 예이다.

 

 

 또 다른 관점에서 Matrix Inversion을 바라보면 A matrix 전체의 inverse가 아닌 A matrix의 특정 column의 inverse만 알고 싶으면 그 column에 해당하는 Identity column만 두고 row operation을 수행하면 그 column의 inverse를 구할 수 있다.

 

 

2.2장 에서는 matrix의 inverse에 대해서 많은 정리와 함께 알아볼 수 있었고 정리하면 아래와같다.